Números primos

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Números primos

El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.

Los números primos menores que cien, son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única.

Todos los números primos, excepto el 2, son impares. Los únicos dos números primos consecutivos son el 2 y el 3. Los números primos impares consecutivos, es decir que se hallen a una distancia de 2 se los llama números primos gemelos.

 

El método mas antiguo conocido para obtener los números primos menores de un numero dado es el método de Eratóstenes, fue un matemático griego del siglo III AC.

 

Como dato curioso de Erantotenes, fue el primero en calcular el radio de la tierra por lo que consideraba que la tierra tiene forma esférica, algo que se dudo en siglos posteriores.

 

El método de Erastonenes consiste en hacer una tabla con todos los números comprendidos entre 2 y n y posteriormente ir tachando los múltiplos de 2, los múltiplos de 3, de 5, de 7, de 11 y así progresivamente con el resto de números primos conocidos hasta llegar al número n.

 

Uno de los mayores retos de los matemáticos es dar con una formula para obtener números primos, Fermat ya creyó haberla conseguido en el año 1640 con la formula 2k + 1, siendo k = 2n, pero casi un siglo después Euler lo desmintió puesto que para el valor n=5 el número obtenido, 4.294.967.297, no es primo, 4.294.967.297 = 6.700.417 x 641.

 

Utilización de los números primos en la vida cotidiana.

Los números primos no son únicamente un pasatiempo de los matemáticos, tienen un importante uso en el dia a dia y números primos de un alto valor tienen cotización económica en el campo de la criptografía por ser indispensables en el sistema criptográfico RSA, ese sisteam necesita dos números primos de mas de 100 cifras.

 

 

Los Números Primos menores de 1000.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
547 557 563 569 571 577 587 593 599 601
607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733
739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 997    

 

Números Primos Gemelos.

Dos números primos son números primos gemelos si están separados por una distancia de 2.

 

Parejas de Números Primos Gemelos menores de 1000.

(3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43)
(59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109) (137, 139) (149, 151)
(179, 181) (191, 193) (197, 199) (227, 229) (239, 241) (269, 271)
(281, 283) (311, 313) (347, 349) (419, 421) (431, 433) (461, 463)
(521, 523) (569, 571) (599, 601) (617, 619) (641, 643) (659, 661)
(809, 811) (821, 823) (827, 829) (857, 859) (881, 883)

 

Números Primos de Mersenne.

Un número primo es un número primo de Mersenne si al sumarle 1 el resultado es una potencia de 2. Por ejemplo, 7 es un número primo de Mersenne al cumplirse (7 + 1 = 8 = 2³)

Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien realizó una serie de postulados sobre ellos que sólo pudo refinarse tres siglos después.

Los ocho primeros números primos de Mersenne son:
3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647.

En la actualidad solo se conocen 44 números primos de Mersenne, el ultimo fue descubierto el 4 de septiembre 2006.

 

Número primo de Sophie Germain.

Un número primo es un número de Sophie Germain si al multiplicarlo por 2 y sumarle 1 el resultado es también un número primo. Ejemplo: El 2 es número primo de Sophie Germain por ser un numero primo y cumplirse 2x2+1=5 siendo 5 también número primo.

 

Números primos de Sophie Germain menores de 1000.

2 3 5 11 23 29 41 53 83 89
113 131 173 179 191 233 239 251 281 293
359 419 431 443 491 509 593 641 653 659
683 719 743 761 809 911 953

 

Número primo de Fermat

Un número primo de Fermat es un número primo que cumple la ecuación:

Fermat

siendo n un número natural.

Sólo se conocen cinco primos de Fermat:
3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4).